第28章 灰色系统理论及其应用

客观世界的很多实际问题,其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解, 人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚,只能依据某种思维逻辑与推断 来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统,我们称之为灰色系统。本章 介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发,研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下,如何 对实际问题进行分析和解决。 §1 灰色系统概论 客观世界在不断发展变化的同时,往往通过事物之间及因素之间相互制约、相互 联系而构成一个整体,我们称之为系统。按事物内涵的不同,人们已建立了工程技术、 社会系统、经济系统等。人们试图对各种系统所外露出的一些特征进行分析,从而弄清 楚系统内部的运行机理。从信息的完备性与模型的构建上看,工程技术等系统具有较充 足的信息量,其发展变化规律明显,定量描述较方便,结构与参数较具体,人们称之为 白色系统;对另一类系统诸如社会系统、农业系统、生态系统等,人们无法建立客观的 物理原型,其作用原理亦不明确,内部因素难以辨识或之间关系隐蔽,人们很难准确了 解这类系统的行为特征,因此对其定量描述难度较大,带来建立模型的困难。这类系统 内部特性部分已知的系统称之为灰色系统。一个系统的内部特性全部未知,则称之为黑 色系统。 区别白色系统与灰色系统的重要标志是系统内各因素之间是否具有确定的关系。 运动学中物体运动的速度、加速度与其所受到的外力有关,其关系可用牛顿定律以明确 的定量来阐明,因此,物体的运动便是一个白色系统。 当然,白、灰、黑是相对于一定的认识层次而言的,因而具有相对性。某人有一 天去他朋友家做客,发现当外面的汽车开过来时,他朋友家的狗就躲到屋角里瑟瑟发抖。 他对此莫名其妙。但对他朋友来讲,狗的这种行为是可以理解的,因为他知道,狗在前 不久曾被汽车撞伤过。显然,同样对于“狗的惧怕行为”,客人因不知内情而面临一个 黑箱,而主人则面临一个灰箱。 作为实际问题,灰色系统在大千世界中是大量存在的,绝对的白色或黑色系统是 很少的。随着人类认识的进步及对掌握现实世界的要求的升级,人们对社会、经济等问 题的研究往往已不满足于定性分析。尽管当代科技日新月异,发展迅速,但人们对自然 界的认识仍然是肤浅的。粮食作物的生产是一个实际的关系到人们吃饭的大问题,但同 时,它又是一个抽象的灰色系统。肥料、种子、农药、气象、土壤、劳力、水利、耕作 及政策等皆是影响生产的因素,但又难以确定影响生产的确定因素,更难确定这些因素 与粮食产量的定量关系。人们只能在一定的假设条件(往往是一些经验及常识)下按照 某种逻辑推理演绎而得到模型。这种模型并非是粮食作物生产问题在理论认识上的“翻 版”,而只能看作是人们在认识上对实际问题的一种“反映”或“逼近”。 社会、经济、农业以及生态系统一般都会有不可忽略的“噪声”(即随即干扰)。 现有的研究经常被“噪声”污染。受随机干扰侵蚀的系统理论主要立足于概率统计。通 过统计规律、概率分布对事物的发展进行预测,对事物的处置进行

  • 2021-10-31
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第05章 图与网络

§1 概论 图论起源于 18 世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于 1736 年发表的“哥尼 斯堡的七座桥”。1847 年,克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。1857 年,凯莱在计数烷CnH2n+2 的同分异构物时,也发现了“树”。哈密尔顿于 1859 年提 出“周游世界”游戏,用图论的术语,就是如何找出一个连通图中的生成圈、近几十年 来,由于计算机技术和科学的飞速发展,大大地促进了图论研究和应用,图论的理论和 方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、运筹学,生物遗传学、心理学、经济 学、社会学等学科中。 图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。如果我们用点表示 这些具体事物,用连接两点的线段(直的或曲的)表示两个事物的特定的联系,就得到 了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了 一个数学模型,借助于图论的概念、理论和方法,可以对该模型求解。哥尼斯堡七桥问 题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结 起来,问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次,再回到起点。 图 1 哥尼斯堡七桥问题 当然可以通过试验去尝试解决这个问题,但该城居民的任何尝试均未成功。欧拉为了解 决这个问题,采用了建立数学模型的方法。他将每一块陆地用一个点来代替,将每一座 桥用连接相应两点的一条线来代替,从而得到一个有四个“点”,七条“线”的“图”。 问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特 点,给出了一笔画的一个判定法则:这个图是连通的,且每个点都与偶数线相关联,将 这个判定法则应用于七桥问题,得到了“不可能走通”的结果,不但彻底解决了这个问 题,而且开创了图论研究的先河。 图与网络是运筹学(Operations Research)中的一个经典和重要的分支,所研究的 问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等 诸多领域。下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都 是图与网络的基本问题。 我们首先通过一些例子来了解网络优化问题。 例 1 最短路问题(SPP-shortest path problem) 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地

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第10章 数据的统计描述和分析

数理统计研究的对象是受随机因素影响的数据,以下数理统计就简称统计,统计是 以概率论为基础的一门应用学科。 数据样本少则几个,多则成千上万,人们希望能用少数几个包含其最多相关信息的 数值来体现数据样本总体的规律。描述性统计就是搜集、整理、加工和分析统计数据, 使之系统化、条理化,以显示出数据资料的趋势、特征和数量关系。它是统计推断的基 础,实用性较强,在统计工作中经常使用。 面对一批数据如何进行描述与分析,需要掌握参数估计和假设检验这两个数理统计 的最基本方法。 我们将用 Matlab 的统计工具箱(Statistics Toolbox)来实现数据的统计描述和分析。 §1 统计的基本概念 1.1 总体和样本 总体是人们研究对象的全体,又称母体,如工厂一天生产的全部产品(按合格品及 废品分类),学校全体学生的身高。 总体中的每一个基本单位称为个体,个体的特征用一个变量(如 x )来表示,如一 件产品是合格品记 x = 0 ,是废品记 x = 1;一个身高 170(cm)的学生记 x = 170。 从总体中随机产生的若干个个体的集合称为样本,或子样,如n 件产品,100 名学 生的身高,或者一根轴直径的 10 次测量。实际上这就是从总体中随机取得的一批数据, 不妨记作 x1 , x2 ,L, xn ,n 称为样本容量。 简单地说,统计的任务是由样本推断总体。 1.2 频数表和直方图 一组数据(样本)往往是杂乱无章的,做出它的频数表和直方图,可以看作是对这 组数据的一个初步整理和直观描述。 将数据的取值范围划分为若干个区间,然后统计这组数据在每个区间中出现的次 数,称为频数,由此得到一个频数表。以数据的取值为横坐标,频数为纵坐标,画出一 个阶梯形的图,称为直方图,或频数分布图。 若样本容量不大,能够手工做出频数表和直方图,当样本容量较大时则可以借助 Matlab 这样的软件了。让我们以下面的例子为例,介绍频数表和直方图的作法。 例 1 学生的身高和体重 学校随机抽取 100 名学生,测量他们的身高和体重,所得数据如表

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