第09章 插值与拟合
插值:求过已知有限个数据点的近似函数。
拟合:已知有限个数据点,求近似函数,不要求过已知数据点,只要求在某种意义
下它在这些点上的总偏差最小。
插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似,由于近似的要求不同,二
者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题,究竟应该用插值还是拟合,有时
容易确定,有时则并不明显。
§1 插值方法
下面介绍几种基本的、常用的插值:拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插
值、Hermite 插值和三次样条插值。
1.1 拉格朗日多项式插值
1.1.1 插值多项式
用多项式作为研究插值的工具,称为代数插值。其基本问题是:已知函数 f (x)在
区间[a,b]上n +1个不同点 x0 , x1 ,L, xn 处的函数值 yi = f (xi) (i = 0,1,L,n) ,求一个
至多n 次多项式
? n (x) = a0 + a1x +L+ an x n (1)
使其在给定点处与 f (x)同值,即满足插值条件
? n (xi) = f (xi) = yi (i = 0,1,L,n) (2)
? n (x)称为插值多项式,xi(i = 0,1,L,n) 称为插值节点,简称节点,[a,b]称为插值区
间。从几何上看,n 次多项式插值就是过n +1个点(xi , f (xi)) (i = 0,1,L,n) ,作一条
多项式曲线 y = ? n (x) 近似曲线 y = f (x) 。
n 次多项式(1)有n +1个待定系数,由插值条
- 2021-10-31
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