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第23章 现代优化算法

现代优化算法是 80 年代初兴起的启发式算法。这些算法包括禁忌搜索（tabu search），模拟退火（simulated annealing），遗传算法（genetic algorithms），人工神经网 络（neural networks）。它们主要用于解决大量的实际应用问题。目前，这些算法在理论 和实际应用方面得到了较大的发展。无论这些算法是怎样产生的，它们有一个共同的目 标－求 NP-hard 组合优化问题的全局最优解。虽然有这些目标，但 NP-hard 理论限制它 们只能以启发式的算法去求解实际问题。 启发式算法包含的算法很多，例如解决复杂优化问题的蚁群算法（Ant Colony Algorithms）。有些启发式算法是根据实际问题而产生的，如解空间分解、解空间的限 制等；另一类算法是集成算法，这些算法是诸多启发式算法的合成。 现代优化算法解决组合优化问题，如 TSP（Traveling Salesman Problem）问题，QAP （Quadratic Assignment Problem）问题，JSP（Job-shop Scheduling Problem）问题等效 果很好。 §1 模拟退火算法 1.1 算法简介 模拟退火算法得益于材料的统计力学的研究成果。统计力学表明材料中粒子的不 同结构对应于粒子的不同能量水平。在高温条件下，粒子的能量较高，可以自由运动和 重新排列。在低温条件下，粒子能量较低。如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过 程被称为退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡。当系统完全被冷却时，最终形 成处于低能状态的晶体。 如果用粒子的能量定义材料的状态，Metropolis 算法用一个简单的数学模型描述了 退火过程。假设材料在状态i 之下的能量为 E（i） ，那么材料在温度T 时从状态i 进入状 态 j 就遵循如下规律： （1）如果 E（ j） ≤ E（i） ，接受该状态被转换。 （2）如果 E（ j） ＞ E（i） ，则状态转换以如下概率被接

  • 2021-10-30
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云原生

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  • 2021-10-31
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第05章 图与网络

§1 概论 图论起源于 18 世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于 1736 年发表的“哥尼 斯堡的七座桥”。1847 年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。1857 年，凯莱在计数烷CnH2n+2 的同分异构物时，也发现了“树”。哈密尔顿于 1859 年提 出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈、近几十年 来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和 方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、运筹学，生物遗传学、心理学、经济 学、社会学等学科中。 图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。如果我们用点表示 这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到 了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了 一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。哥尼斯堡七桥问 题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结 起来，问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。 图 1 哥尼斯堡七桥问题 当然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。欧拉为了解 决这个问题，采用了建立数学模型的方法。他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座 桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。 问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特 点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将 这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问 题，而且开创了图论研究的先河。 图与网络是运筹学（Operations Research）中的一个经典和重要的分支，所研究的 问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等 诸多领域。下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都 是图与网络的基本问题。 我们首先通过一些例子来了解网络优化问题。 例 1 最短路问题（SPP－shortest path problem） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地

  • 2021-10-31
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第17章 马氏链模型

一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描 述。在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接 连不断地观测它的变化过程。这就要研究无限多个，即一族随机变量。随机过程理论就 是研究随机现象变化过程的概率规律性的。 定义 1 设{ξ t ,t ∈T}是一族随机变量，T 是一个实数集合，若对任意实数t ∈T,ξ t 是一个随机变量，则称{ξ t ,t ∈T}为随机过程。 T 称为参数集合，参数t 可以看作时间。ξ t 的每一个可能取值称为随机过程的一个 状态。其全体可能取值所构成的集合称为状态空间，记作 E 。当参数集合T 为非负整 数集时，随机过程又称随机序列。本章要介

  • 2021-10-31
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第02章 整数规划

规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中， 变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适 用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。 1.2 整数规划的分类 如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类： 1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。 1.2 整数规划特点 （i） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况： ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。 ②整数规划无可行解。

  • 2021-10-31
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第03章 非线性规划

规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中， 变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适 用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。 1.2 整数规划的分类 如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类： 1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。 1.2 整数规划特点 （i） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况： ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。 ②整数规划无可行解。

  • 2021-10-31
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第20章 偏微分方程的数值解

自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。这些规 律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。我们将只含有未知多元 函数及其偏导数的方程，称之为偏微分方程。 方程中出现的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。如果方程中对于未 知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的方程称为线性偏微分方程，否则称它为非 线性偏微分方程。 初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。 对于一个具体的问题，定解条件与泛定方程总是同时提出。定解条件与泛定方程作为一 个整体，称为定解问题。 §1 偏微分方程的定解问题 各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。其最典

  • 2021-10-31
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第21章 目标规划

§1 引言 1．线性规划的局限性 只能解决一组线性约束条件下，某一目标只能是一个目标的最大或最小值的问题。 2．实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标 这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大值的，也有最小值的；有定量的， 也有定性的；有相互补充的，也有相互对立的，LP 则无能为力。 3．目标规划（Goal Programming） 美国经济学家查恩斯（A. Charnes）和库柏（W. W. Cooper）在 1961 年出版的《管 理模型及线性规划的工业应用》一书中，首先提出的。 4．求解思路 （1）加权系数法 为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确 定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。 （2）优先等级法 将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。 （3）有效解法 寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个 解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。

  • 2021-10-31
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