第13章 微分方程建模
微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微
分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以
下几步：
1. 根据实际要求确定要研究的量（自变量、未知函数、必要的参数等）并确定坐标系。
2. 找出这些量所满足的基本规律（物理的、几何的、化学的或生物学的等等）。
3. 运用这些规律列出方程和定解条件。
列方程常见的方法有：
（i）按规律直接列方程
在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，
并直接由微分方程所描述。如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。我们常利用
这些规律对某些实际问题列出微分方程。
（ii）微元分析法与任意区域上取积分的方法
自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。对
于这类问题，我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过
微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，
然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立
微分方程。
（iii）模拟近似法
在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需
要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设。在一定的假设下，给出实际现象所
满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。
在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法的综合应用。不论应用哪种方法，
通常要根据实际情况，作出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情
况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。
本章将利用上述方法讨论具体的微分方程的建模问题
- 2021-10-31
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