会员中心
搜索
登录
注册

解决方案

数字化转型通用方案行业方案安全方案大数据人工智能物联网行业展望自动控制其他

产品|技术

白皮书产品介绍技术介绍技术创新模型算法

政策|规范

政策规范行动计划

电子书

电子书课件

报告|论文

报告模板论文

第12章 回归分析

前面我们讲过曲线拟合问题。曲线拟合问题的特点是，根据得到的若干有关变量的 一组数据，寻找因变量与（一个或几个）自变量之间的一个函数，使这个函数对那组数 据拟合得最好。通常，函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直观观察决定，要 作的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。从计算的角度看，问题似乎已 经完全解决了，还有进一步研究的必要吗? 从数理统计的观点看，这里涉及的都是随机变量，我们根据一个样本计算出的那些 系数，只是它们的一个（点）估计，应该对它们作区间估计或假设检验，如果置信区间 太大，甚至包含了零点，那么系数的估计值是没有多大意义的。另外也可以用方差分析 方法对模型的误差进行分析，对拟合的优劣给出评价。简单地说，回归分析就是对拟合 问题作的统计分析。 具体地说，回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题： （i）建立因变量 y 与自变量 x1 , x2 ,L, xm 之间的回归模型（经验公式）； （ii）对回归模型的可信度进行检验； （iii）判断每个自变量 xi（i = 1,2,L,m） 对 y 的影响是否显著； （iv）诊断回归模型是否适合这组数据； （v）利用回归模型对 y 进行预报或控制。

  • 2021-10-31
  • 阅读400
  • 下载0
  • 26页
  • pdf

第11章 方差分析

我们已经作过两个总体均值的假设检验，如两台机床生产的零件尺寸是否相等，病 人和正常人的某个生理指标是否一样。如果把这类问题推广一下，要检验两个以上总体 的均值彼此是否相等，仍然用以前介绍的方法是很难做到的。而你在实际生产和生活中 可以举出许多这样的问题：从用几种不同工艺制成的灯泡中，各抽取了若干个测量其寿 命，要推断这几种工艺制成的灯泡寿命是否有显著差异；用几种化肥和几个小麦品种在 若干块试验田里种植小麦，要推断不同的化肥和品种对产量有无显著影响。 可以看到，为了使生产过程稳定，达到优质、高产，需要对影响产品质量的因素进 行分析，找出有显著影响的那些因素，除了从机理方面进行研究外，常常要作许多试验， 对结果作分析、比较，寻求规律。用数理统计分析试验结果、鉴别各因素对结果影响程 度的方法称为方差分析（Analysis Of Variance），记作 ANOVA。 人们关心的试验结果称为指标，试验中需要考察、可以控制的条件称为因素或因子， 因素所处的状态称为水平。上面提到的灯泡寿命问题是单因素试验，小麦产量问题是双 因素试验。处理这些试验结果的统计方法就称为单因素方差分析和双因素方差分析。 §1 单因素方差分析 只考虑一个因素 A 对所关心的指标的影响， A 取几个水平，在每个水平上作若干 个试验，试验过程中除 A 外其它影响指标的因素都保持不变（只有随机因素存在），我 们的任务是从试验结果推断，因素 A 对指标有无显著影响，即当 A 取不同水平时指标 有无显著差别。 A 取某个水平下的指标视为随机变量，判断 A 取不同水平时指标有无显著差别， 相当于检验若干总体的均值是否相等

  • 2021-10-31
  • 阅读400
  • 下载0
  • 13页
  • pdf

第10章 数据的统计描述和分析

数理统计研究的对象是受随机因素影响的数据，以下数理统计就简称统计，统计是 以概率论为基础的一门应用学科。 数据样本少则几个，多则成千上万，人们希望能用少数几个包含其最多相关信息的 数值来体现数据样本总体的规律。描述性统计就是搜集、整理、加工和分析统计数据， 使之系统化、条理化，以显示出数据资料的趋势、特征和数量关系。它是统计推断的基 础，实用性较强，在统计工作中经常使用。 面对一批数据如何进行描述与分析，需要掌握参数估计和假设检验这两个数理统计 的最基本方法。 我们将用 Matlab 的统计工具箱（Statistics Toolbox）来实现数据的统计描述和分析。 §1 统计的基本概念 1.1 总体和样本 总体是人们研究对象的全体，又称母体，如工厂一天生产的全部产品（按合格品及 废品分类），学校全体学生的身高。 总体中的每一个基本单位称为个体，个体的特征用一个变量（如 x ）来表示，如一 件产品是合格品记 x = 0 ，是废品记 x = 1；一个身高 170（cm）的学生记 x = 170。 从总体中随机产生的若干个个体的集合称为样本，或子样，如n 件产品，100 名学 生的身高，或者一根轴直径的 10 次测量。实际上这就是从总体中随机取得的一批数据， 不妨记作 x1 , x2 ,L, xn ，n 称为样本容量。 简单地说，统计的任务是由样本推断总体。 1.2 频数表和直方图 一组数据（样本）往往是杂乱无章的，做出它的频数表和直方图，可以看作是对这 组数据的一个初步整理和直观描述。 将数据的取值范围划分为若干个区间，然后统计这组数据在每个区间中出现的次 数，称为频数，由此得到一个频数表。以数据的取值为横坐标，频数为纵坐标，画出一 个阶梯形的图，称为直方图，或频数分布图。 若样本容量不大，能够手工做出频数表和直方图，当样本容量较大时则可以借助 Matlab 这样的软件了。让我们以下面的例子为例，介绍频数表和直方图的作法。 例 1 学生的身高和体重 学校随机抽取 100 名学生，测量他们的身高和体重，所得数据如表

  • 2021-10-31
  • 阅读390
  • 下载0
  • 12页
  • pdf

第09章 插值与拟合

插值：求过已知有限个数据点的近似函数。 拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义 下它在这些点上的总偏差最小。 插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二 者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时 容易确定，有时则并不明显。 §1 插值方法 下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插 值、Hermite 插值和三次样条插值。 1.1 拉格朗日多项式插值 1.1.1 插值多项式 用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。其基本问题是：已知函数 f （x）在 区间[a,b]上n +1个不同点 x0 , x1 ,L, xn 处的函数值 yi = f （xi） （i = 0,1,L,n） ，求一个 至多n 次多项式 ？ n （x） = a0 + a1x +L+ an x n （1） 使其在给定点处与 f （x）同值，即满足插值条件 ？ n （xi） = f （xi） = yi （i = 0,1,L,n） （2） ？ n （x）称为插值多项式，xi（i = 0,1,L,n） 称为插值节点，简称节点，[a,b]称为插值区 间。从几何上看，n 次多项式插值就是过n +1个点（xi , f （xi）） （i = 0,1,L,n） ，作一条 多项式曲线 y = ？ n （x） 近似曲线 y = f （x） 。 n 次多项式（1）有n +1个待定系数，由插值条

  • 2021-10-31
  • 阅读419
  • 下载0
  • 26页
  • pdf

第08章 层次分析法

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称 AHP）是对一些较为复杂、较为模 糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美 国运筹学家 T. L. Saaty 教授于上世纪 70 年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的 多准则决策方法。 §1 层次分析法的基本原理与步骤 人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是 一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次 分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。 运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： （i）建立递阶层次结构模型； （ii）构造出各层次中的所有判断矩阵； （iii）层次单排序及一致性检验； （iv）层次总排序及一致性检验。 下面分别说明这四个步骤的实现过程。 1.1 递阶层次结构的建立与特点 应用 AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次 的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属 性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。 这些层次可以分为三类： （i）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结 果，因此也称为目标层。 （ii）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干 个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。 （iii）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等， 因此也称为措施层或方案层。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地 层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过 9 个。这是因为支配 的元素过多会给两两比较判断带来困难。 下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立

  • 2021-10-31
  • 阅读650
  • 下载0
  • 8页
  • pdf

第07章 对策论

§1 引言 社会及经济的发展带来了人与人之间或团体之间的竞争及矛盾，应用科学的方法来 解决这样的问题开始于 17 世纪的科学家，如 C.，Huygens 和 W.，Leibnitz 等。现代对 策论起源于 1944 年 J.，Von Neumann 和 O.，Morgenstern 的著作《Theory of Gamesand Economic Behavior》。 对策论亦称竞赛论或博弈论。是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。 一般认为，它既是现代数学的一个新分支，也是运筹学中的一个重要学科。对策论发展 的历史并不长，但由于它所研究的现象与人们的政治、经济、军事活动乃至一般的日常 生活等有着密切的联系，并且处理问题的方法又有明显特色。所以日益引起广泛的注意。 在日常生活中，经常看到一些具有相互之间斗争或竞争性质的行为。具有竞争或对 抗性质的行为称为对策行为。在这类行为中。参加斗争或竞争的各方各自具有不同的目 标和利益。为了达到各自的目标和利益，各方必须考虑对手的各种可能的行动方案，并 力图选取对自己最为有利或最为合理的方案。对策论就是研究对策行为中斗争各方是否 存在着最合理的行动方案，以及如何找到这个合理的行动方案的数学理论和方法。 §2 对策问题 对策问题的特征是参与者为利益相互冲突的各方，其结局不取决于其中任意一方的 努力而是各方所采取的策略的综合结果。 先考察一个实际例子。 例 1（囚徒的困境） 警察同时逮捕了两人并分开关押，逮捕的原因是他们持有大 量伪币，警方怀疑他们伪造钱币，但没有找到充分证据，希望他们能自己供认，这两个 人都知道：如果他们双方都不供认，将被以持有大量伪币罪被各判刑 18 个月；如果双 方都供认伪造了钱币，将各被判刑 3 年；如果一方供认另一方不供认，则供认方将被从 宽处理而免刑，但另一方面将被判刑 7 年。将嫌疑犯 A 、 B 被判刑的几种可能情况列 于表 1。

  • 2021-10-31
  • 阅读360
  • 下载0
  • 13页
  • pdf

第06章 排队论

排队论起源于 1909 年丹麦电话工程师 A. K．爱尔朗的工作，他对电话通话拥挤问 题进行了研究。1917 年，爱尔朗发表了他的著名的文章—“自动电话交换中的概率理 论的几个问题的解决”。排队论已广泛应用于解决军事、运输、维修、生产、服务、库 存、医疗卫生、教育、水利灌溉之类的排队系统的问题，显示了强大的生命力。 排队是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、病人到医院看病常 常要排队。此时要求服务的数量超过服务机构（服务台、服务员等）的容量。也就是说， 到达的顾客不能立即得到服务，因而出现了排队现象。这种现象不仅在个人日常生活中 出现，电话局的占线问题，车站、码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导，故障机器的停机 待修，水库的存贮调节等都是有形或无形的排队现象。由于顾客到达和服务时间的随机 性。可以说排队现象几乎是不可避免的。 排队论（Queuing Theory）也称随机服务系统理论，就是为解决上述问题而发展 的一门学科。它研究的内容有下列三部分： （i）性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主要是研究队长分布、等待 时间分布和忙期分布等，包括了瞬态和稳态两种情形。 （ii）最优化问题，又分静态最优和动态最优，前者指最优设计。后者指现有排队 系统的最优运营。 （iii）排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便 根据排队理论进行分析研究。 这里将介绍排队论的一些基本知识，分析几个常见的排队模型。 §1 基本概念 1.1 排队过程的一般表示 下图是排队论的一般模型。 图 1 排队模型 图中虚线所包含的部分为排队系统。各个顾客从顾客源出发，随机地来到服务机构，按 一定的排队规则等待服务，直到按一定的服务规则接受完服务后离开排队系统。 凡要求服务的对象统称为顾客，为顾客服务的人或物称为服务员，由顾客和服务员 组成服务系统。对于一个服务系统来说，如果服务机构过小，以致不能满足要求服务的 众多顾客的需要，那么就会产生拥挤现象而使服务质量降低。 因此，顾客总希望服务 机构越大越好，但是，如果服务机构过大，人力和物力方面的开支也就相应增加，从而 会造成浪费，因此研究排队模型的目的就是要在顾客需要和服务机构的规模之间进行权 衡决策，使其达到合理的平衡。 1.2 排队系统的组成和特征 一般的排队过程都由输入过程、排队规则

  • 2021-10-31
  • 阅读407
  • 下载0
  • 36页
  • pdf

第05章 图与网络

§1 概论 图论起源于 18 世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于 1736 年发表的“哥尼 斯堡的七座桥”。1847 年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。1857 年，凯莱在计数烷CnH2n+2 的同分异构物时，也发现了“树”。哈密尔顿于 1859 年提 出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈、近几十年 来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和 方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、运筹学，生物遗传学、心理学、经济 学、社会学等学科中。 图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。如果我们用点表示 这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到 了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了 一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。哥尼斯堡七桥问 题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结 起来，问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。 图 1 哥尼斯堡七桥问题 当然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。欧拉为了解 决这个问题，采用了建立数学模型的方法。他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座 桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。 问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特 点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将 这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问 题，而且开创了图论研究的先河。 图与网络是运筹学（Operations Research）中的一个经典和重要的分支，所研究的 问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等 诸多领域。下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都 是图与网络的基本问题。 我们首先通过一些例子来了解网络优化问题。 例 1 最短路问题（SPP－shortest path problem） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地

  • 2021-10-31
  • 阅读384
  • 下载0
  • 50页
  • pdf