第13章 微分方程建模

微分方程建模是数学建模的重要方法,因为许多实际问题的数学描述将导致求解微 分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题,大体上可以按以 下几步: 1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。 2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。 3. 运用这些规律列出方程和定解条件。 列方程常见的方法有: (i)按规律直接列方程 在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉, 并直接由微分方程所描述。如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。我们常利用 这些规律对某些实际问题列出微分方程。 (ii)微元分析法与任意区域上取积分的方法 自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。对 于这类问题,我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式,而是通过 微元分析法,利用已知的规律建立一些变量(自变量与未知函数)的微元之间的关系式, 然后再通过取极限的方法得到微分方程,或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立 微分方程。 (iii)模拟近似法 在生物、经济等学科中,许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂,因而需 要根据实际资料或大量的实验数据,提出各种假设。在一定的假设下,给出实际现象所 满足的规律,然后利用适当的数学方法列出微分方程。 在实际的微分方程建模过程中,也往往是上述方法的综合应用。不论应用哪种方法, 通常要根据实际情况,作出一定的假设与简化,并要把模型的理论或计算结果与实际情 况进行对照验证,以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。 本章将利用上述方法讨论具体的微分方程的建模问题

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第11章 方差分析

我们已经作过两个总体均值的假设检验,如两台机床生产的零件尺寸是否相等,病 人和正常人的某个生理指标是否一样。如果把这类问题推广一下,要检验两个以上总体 的均值彼此是否相等,仍然用以前介绍的方法是很难做到的。而你在实际生产和生活中 可以举出许多这样的问题:从用几种不同工艺制成的灯泡中,各抽取了若干个测量其寿 命,要推断这几种工艺制成的灯泡寿命是否有显著差异;用几种化肥和几个小麦品种在 若干块试验田里种植小麦,要推断不同的化肥和品种对产量有无显著影响。 可以看到,为了使生产过程稳定,达到优质、高产,需要对影响产品质量的因素进 行分析,找出有显著影响的那些因素,除了从机理方面进行研究外,常常要作许多试验, 对结果作分析、比较,寻求规律。用数理统计分析试验结果、鉴别各因素对结果影响程 度的方法称为方差分析(Analysis Of Variance),记作 ANOVA。 人们关心的试验结果称为指标,试验中需要考察、可以控制的条件称为因素或因子, 因素所处的状态称为水平。上面提到的灯泡寿命问题是单因素试验,小麦产量问题是双 因素试验。处理这些试验结果的统计方法就称为单因素方差分析和双因素方差分析。 §1 单因素方差分析 只考虑一个因素 A 对所关心的指标的影响, A 取几个水平,在每个水平上作若干 个试验,试验过程中除 A 外其它影响指标的因素都保持不变(只有随机因素存在),我 们的任务是从试验结果推断,因素 A 对指标有无显著影响,即当 A 取不同水平时指标 有无显著差别。 A 取某个水平下的指标视为随机变量,判断 A 取不同水平时指标有无显著差别, 相当于检验若干总体的均值是否相等

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第10章 数据的统计描述和分析

数理统计研究的对象是受随机因素影响的数据,以下数理统计就简称统计,统计是 以概率论为基础的一门应用学科。 数据样本少则几个,多则成千上万,人们希望能用少数几个包含其最多相关信息的 数值来体现数据样本总体的规律。描述性统计就是搜集、整理、加工和分析统计数据, 使之系统化、条理化,以显示出数据资料的趋势、特征和数量关系。它是统计推断的基 础,实用性较强,在统计工作中经常使用。 面对一批数据如何进行描述与分析,需要掌握参数估计和假设检验这两个数理统计 的最基本方法。 我们将用 Matlab 的统计工具箱(Statistics Toolbox)来实现数据的统计描述和分析。 §1 统计的基本概念 1.1 总体和样本 总体是人们研究对象的全体,又称母体,如工厂一天生产的全部产品(按合格品及 废品分类),学校全体学生的身高。 总体中的每一个基本单位称为个体,个体的特征用一个变量(如 x )来表示,如一 件产品是合格品记 x = 0 ,是废品记 x = 1;一个身高 170(cm)的学生记 x = 170。 从总体中随机产生的若干个个体的集合称为样本,或子样,如n 件产品,100 名学 生的身高,或者一根轴直径的 10 次测量。实际上这就是从总体中随机取得的一批数据, 不妨记作 x1 , x2 ,L, xn ,n 称为样本容量。 简单地说,统计的任务是由样本推断总体。 1.2 频数表和直方图 一组数据(样本)往往是杂乱无章的,做出它的频数表和直方图,可以看作是对这 组数据的一个初步整理和直观描述。 将数据的取值范围划分为若干个区间,然后统计这组数据在每个区间中出现的次 数,称为频数,由此得到一个频数表。以数据的取值为横坐标,频数为纵坐标,画出一 个阶梯形的图,称为直方图,或频数分布图。 若样本容量不大,能够手工做出频数表和直方图,当样本容量较大时则可以借助 Matlab 这样的软件了。让我们以下面的例子为例,介绍频数表和直方图的作法。 例 1 学生的身高和体重 学校随机抽取 100 名学生,测量他们的身高和体重,所得数据如表

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第09章 插值与拟合

插值:求过已知有限个数据点的近似函数。 拟合:已知有限个数据点,求近似函数,不要求过已知数据点,只要求在某种意义 下它在这些点上的总偏差最小。 插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似,由于近似的要求不同,二 者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题,究竟应该用插值还是拟合,有时 容易确定,有时则并不明显。 §1 插值方法 下面介绍几种基本的、常用的插值:拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插 值、Hermite 插值和三次样条插值。 1.1 拉格朗日多项式插值 1.1.1 插值多项式 用多项式作为研究插值的工具,称为代数插值。其基本问题是:已知函数 f (x)在 区间[a,b]上n +1个不同点 x0 , x1 ,L, xn 处的函数值 yi = f (xi) (i = 0,1,L,n) ,求一个 至多n 次多项式 ? n (x) = a0 + a1x +L+ an x n (1) 使其在给定点处与 f (x)同值,即满足插值条件 ? n (xi) = f (xi) = yi (i = 0,1,L,n) (2) ? n (x)称为插值多项式,xi(i = 0,1,L,n) 称为插值节点,简称节点,[a,b]称为插值区 间。从几何上看,n 次多项式插值就是过n +1个点(xi , f (xi)) (i = 0,1,L,n) ,作一条 多项式曲线 y = ? n (x) 近似曲线 y = f (x) 。 n 次多项式(1)有n +1个待定系数,由插值条

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