第09章 插值与拟合
插值：求过已知有限个数据点的近似函数。
拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义
下它在这些点上的总偏差最小。
插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二
者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时
容易确定，有时则并不明显。
§1 插值方法
下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插
值、Hermite 插值和三次样条插值。
1.1 拉格朗日多项式插值
1.1.1 插值多项式
用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。其基本问题是：已知函数 f （x）在
区间[a,b]上n +1个不同点 x0 , x1 ,L, xn 处的函数值 yi = f （xi） （i = 0,1,L,n） ，求一个
至多n 次多项式
？ n （x） = a0 + a1x +L+ an x n （1）
使其在给定点处与 f （x）同值，即满足插值条件
？ n （xi） = f （xi） = yi （i = 0,1,L,n） （2）
？ n （x）称为插值多项式，xi（i = 0,1,L,n） 称为插值节点，简称节点，[a,b]称为插值区
间。从几何上看，n 次多项式插值就是过n +1个点（xi , f （xi）） （i = 0,1,L,n） ，作一条
多项式曲线 y = ？ n （x） 近似曲线 y = f （x） 。
n 次多项式（1）有n +1个待定系数，由插值条
- 2021-10-31
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