第05章 图与网络

§1 概论 图论起源于 18 世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于 1736 年发表的“哥尼 斯堡的七座桥”。1847 年,克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。1857 年,凯莱在计数烷CnH2n+2 的同分异构物时,也发现了“树”。哈密尔顿于 1859 年提 出“周游世界”游戏,用图论的术语,就是如何找出一个连通图中的生成圈、近几十年 来,由于计算机技术和科学的飞速发展,大大地促进了图论研究和应用,图论的理论和 方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、运筹学,生物遗传学、心理学、经济 学、社会学等学科中。 图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。如果我们用点表示 这些具体事物,用连接两点的线段(直的或曲的)表示两个事物的特定的联系,就得到 了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了 一个数学模型,借助于图论的概念、理论和方法,可以对该模型求解。哥尼斯堡七桥问 题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结 起来,问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次,再回到起点。 图 1 哥尼斯堡七桥问题 当然可以通过试验去尝试解决这个问题,但该城居民的任何尝试均未成功。欧拉为了解 决这个问题,采用了建立数学模型的方法。他将每一块陆地用一个点来代替,将每一座 桥用连接相应两点的一条线来代替,从而得到一个有四个“点”,七条“线”的“图”。 问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特 点,给出了一笔画的一个判定法则:这个图是连通的,且每个点都与偶数线相关联,将 这个判定法则应用于七桥问题,得到了“不可能走通”的结果,不但彻底解决了这个问 题,而且开创了图论研究的先河。 图与网络是运筹学(Operations Research)中的一个经典和重要的分支,所研究的 问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等 诸多领域。下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都 是图与网络的基本问题。 我们首先通过一些例子来了解网络优化问题。 例 1 最短路问题(SPP-shortest path problem) 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地

  • 2021-10-31
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