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第08章 层次分析法

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称 AHP）是对一些较为复杂、较为模 糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美 国运筹学家 T. L. Saaty 教授于上世纪 70 年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的 多准则决策方法。 §1 层次分析法的基本原理与步骤 人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是 一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次 分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。 运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： （i）建立递阶层次结构模型； （ii）构造出各层次中的所有判断矩阵； （iii）层次单排序及一致性检验； （iv）层次总排序及一致性检验。 下面分别说明这四个步骤的实现过程。 1.1 递阶层次结构的建立与特点 应用 AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次 的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属 性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。 这些层次可以分为三类： （i）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结 果，因此也称为目标层。 （ii）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干 个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。 （iii）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等， 因此也称为措施层或方案层。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地 层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过 9 个。这是因为支配 的元素过多会给两两比较判断带来困难。 下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立

  • 2021-10-31
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第10章 数据的统计描述和分析

数理统计研究的对象是受随机因素影响的数据，以下数理统计就简称统计，统计是 以概率论为基础的一门应用学科。 数据样本少则几个，多则成千上万，人们希望能用少数几个包含其最多相关信息的 数值来体现数据样本总体的规律。描述性统计就是搜集、整理、加工和分析统计数据， 使之系统化、条理化，以显示出数据资料的趋势、特征和数量关系。它是统计推断的基 础，实用性较强，在统计工作中经常使用。 面对一批数据如何进行描述与分析，需要掌握参数估计和假设检验这两个数理统计 的最基本方法。 我们将用 Matlab 的统计工具箱（Statistics Toolbox）来实现数据的统计描述和分析。 §1 统计的基本概念 1.1 总体和样本 总体是人们研究对象的全体，又称母体，如工厂一天生产的全部产品（按合格品及 废品分类），学校全体学生的身高。 总体中的每一个基本单位称为个体，个体的特征用一个变量（如 x ）来表示，如一 件产品是合格品记 x = 0 ，是废品记 x = 1；一个身高 170（cm）的学生记 x = 170。 从总体中随机产生的若干个个体的集合称为样本，或子样，如n 件产品，100 名学 生的身高，或者一根轴直径的 10 次测量。实际上这就是从总体中随机取得的一批数据， 不妨记作 x1 , x2 ,L, xn ，n 称为样本容量。 简单地说，统计的任务是由样本推断总体。 1.2 频数表和直方图 一组数据（样本）往往是杂乱无章的，做出它的频数表和直方图，可以看作是对这 组数据的一个初步整理和直观描述。 将数据的取值范围划分为若干个区间，然后统计这组数据在每个区间中出现的次 数，称为频数，由此得到一个频数表。以数据的取值为横坐标，频数为纵坐标，画出一 个阶梯形的图，称为直方图，或频数分布图。 若样本容量不大，能够手工做出频数表和直方图，当样本容量较大时则可以借助 Matlab 这样的软件了。让我们以下面的例子为例，介绍频数表和直方图的作法。 例 1 学生的身高和体重 学校随机抽取 100 名学生，测量他们的身高和体重，所得数据如表

  • 2021-10-31
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第11章 方差分析

我们已经作过两个总体均值的假设检验，如两台机床生产的零件尺寸是否相等，病 人和正常人的某个生理指标是否一样。如果把这类问题推广一下，要检验两个以上总体 的均值彼此是否相等，仍然用以前介绍的方法是很难做到的。而你在实际生产和生活中 可以举出许多这样的问题：从用几种不同工艺制成的灯泡中，各抽取了若干个测量其寿 命，要推断这几种工艺制成的灯泡寿命是否有显著差异；用几种化肥和几个小麦品种在 若干块试验田里种植小麦，要推断不同的化肥和品种对产量有无显著影响。 可以看到，为了使生产过程稳定，达到优质、高产，需要对影响产品质量的因素进 行分析，找出有显著影响的那些因素，除了从机理方面进行研究外，常常要作许多试验， 对结果作分析、比较，寻求规律。用数理统计分析试验结果、鉴别各因素对结果影响程 度的方法称为方差分析（Analysis Of Variance），记作 ANOVA。 人们关心的试验结果称为指标，试验中需要考察、可以控制的条件称为因素或因子， 因素所处的状态称为水平。上面提到的灯泡寿命问题是单因素试验，小麦产量问题是双 因素试验。处理这些试验结果的统计方法就称为单因素方差分析和双因素方差分析。 §1 单因素方差分析 只考虑一个因素 A 对所关心的指标的影响， A 取几个水平，在每个水平上作若干 个试验，试验过程中除 A 外其它影响指标的因素都保持不变（只有随机因素存在），我 们的任务是从试验结果推断，因素 A 对指标有无显著影响，即当 A 取不同水平时指标 有无显著差别。 A 取某个水平下的指标视为随机变量，判断 A 取不同水平时指标有无显著差别， 相当于检验若干总体的均值是否相等

  • 2021-10-31
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第12章 回归分析

前面我们讲过曲线拟合问题。曲线拟合问题的特点是，根据得到的若干有关变量的 一组数据，寻找因变量与（一个或几个）自变量之间的一个函数，使这个函数对那组数 据拟合得最好。通常，函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直观观察决定，要 作的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。从计算的角度看，问题似乎已 经完全解决了，还有进一步研究的必要吗? 从数理统计的观点看，这里涉及的都是随机变量，我们根据一个样本计算出的那些 系数，只是它们的一个（点）估计，应该对它们作区间估计或假设检验，如果置信区间 太大，甚至包含了零点，那么系数的估计值是没有多大意义的。另外也可以用方差分析 方法对模型的误差进行分析，对拟合的优劣给出评价。简单地说，回归分析就是对拟合 问题作的统计分析。 具体地说，回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题： （i）建立因变量 y 与自变量 x1 , x2 ,L, xm 之间的回归模型（经验公式）； （ii）对回归模型的可信度进行检验； （iii）判断每个自变量 xi（i = 1,2,L,m） 对 y 的影响是否显著； （iv）诊断回归模型是否适合这组数据； （v）利用回归模型对 y 进行预报或控制。

  • 2021-10-31
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第14章 稳定状态模型

虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义 下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可 以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。 本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。

  • 2021-10-31
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第15章 常微分方程的解法

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如 y 2 x 2 dx dy = + ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段。 §1 常微分方程的离散化 下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是 ？ ？ ？ ？ ？ = ≤ ≤ = （ ） 0 （ , ） y a y a x b f x y dx dy （1）

  • 2021-10-31
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第16章 差分方程模型

离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差 分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型

  • 2021-10-31
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第19章 神经网络模型

§1 神经网络简介 人工神经网络是在现代神经科学的基础上提出和发展起来的，旨在反映人脑结构及 功能的一种抽象数学模型。自 1943 年美国心理学家 W. McCulloch 和数学家 W. Pitts 提 出形式神经元的抽象数学模型—MP 模型以来，人工神经网络理论技术经过了 50 多年 曲折的发展。特别是 20 世纪 80 年代，人工神经网络的研究取得了重大进展，有关的理 论和方法已经发展成一门界于物理学、数学、计算机科学和神经生物学之间的交叉学科。 它在模式识别，图像处理，智能控制，组合优化，金融预测与管理，通信，机器人以及 专家系统等领域得到广泛的应用，提出了 40 多种神经网络模型，其中比较著名的有感 知机，Hopfield 网络，Boltzman 机，自适应共振理论及反向传播网络（BP）等。在这 里我们仅讨论最基本的网络模型及其学习算法。 1.1 人工神经元模型 下图表示出了作为人工神经网络（artificial neural network，以下简称 NN）的基本 单元的神经元模型，它有三个基本要素：

  • 2021-10-31
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